1. 对应定理

这段话引入了一个在群论中非常常见的构造方法：同态的限制 (restriction of a homomorphism)。让我们从头开始一步步拆解这个概念。

1. 基本设定：我们有两个群 (group)，分别记为 $G$ 和 $\mathcal{G}$。群是一个集合配上一个二元运算，满足封闭性、结合律、有单位元和每个元素都有逆元。
2. 群同态：我们有一个映射（函数）$\varphi$，它从群 $G$ 映射到群 $\mathcal{G}$，即 $\varphi: G \rightarrow \mathcal{G}$。这个映射不是任意的，它必须保持群的结构。具体来说，对于 $G$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，它们在 $G$ 中运算的结果 $a \cdot_G b$（通常简写为 $ab$），经过 $\varphi$ 映射后，等于先将 $a$ 和 $b$ 分别映射到 $\mathcal{G}$ 中得到 $\varphi(a)$ 和 $\varphi(b)$，然后再在 $\mathcal{G}$ 中进行运算的结果 $\varphi(a) \cdot_{\mathcal{G}} \varphi(b)$。用公式表达就是 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$。这就是群同态的定义。它好比是将一个群的“乘法表”结构“翻译”到另一个群中。
3. 子群：现在，我们在 $G$ 内部考虑一个特殊的子集 $H$。这个子集 $H$ 本身也构成一个群（使用与 $G$ 相同的运算），那么 $H$ 就被称为 $G$ 的一个子群 (subgroup)。这意味着 $H$ 对于 $G$ 的运算是封闭的，并且包含单位元和其每个元素的逆元。
4. 限制映射：现在到了核心概念——“限制”。我们已经有了一个定义在整个群 $G$ 上的映射 $\varphi$。现在我们想创建一个新的映射，这个新映射只作用于子群 $H$ 的元素上。这个新映射，我们称之为“$\varphi$ 限制在 $H$ 上”，记作 $\left.\varphi\right|_{H}$。
5. 定义域的缩小：这个新映射 $\left.\varphi\right|_{H}$ 的定义域（输入）不再是整个 $G$，而仅仅是子群 $H$。它的到达域（输出空间）仍然是 $\mathcal{G}$。所以，它的完整写法是 $\left.\varphi\right|_{H}: H \rightarrow \mathcal{G}$。
6. 映射规则不变：如何计算 $\left.\varphi\right|_{H}$ 的值呢？非常简单，对于任何一个在 $H$ 中的元素 $h$（注意 $h$ 同时也在 $G$ 中），$\left.\varphi\right|_{H}(h)$ 的值就等于原来那个映射 $\varphi$ 作用在 $h$ 上的值，即 $\varphi(h)$。换句话说，我们只是把原来的“广角镜头”$\varphi$（能看清整个 $G$）换成了一个“变焦镜头”$\left.\varphi\right|_{H}$，只对准了 $H$ 这块区域，但拍照的方式（映射规则）完全没变。
7. 限制也是同态：最重要的一点是，这样得到的限制映射 $\left.\varphi\right|_{H}$ 依然是一个群同态。为什么呢？因为对于 $H$ 中的任意两个元素 $h_1, h_2$，根据子群的封闭性，$h_1h_2$ 也在 $H$ 中。我们来验证同态性质：
   • $\left.\varphi\right|_{H}(h_1h_2) = \varphi(h_1h_2)$ （根据限制的定义）
   • $\varphi(h_1h_2) = \varphi(h_1)\varphi(h_2)$ （因为 $\varphi$ 本身是同态）
   • $\varphi(h_1)\varphi(h_2) = \left.\varphi\right|_{H}(h_1) \left.\varphi\right|_{H}(h_2)$ （再次根据限制的定义）
   • 所以，$\left.\varphi\right|_{H}(h_1h_2) = \left.\varphi\right|_{H}(h_1) \left.\varphi\right|_{H}(h_2)$，满足群同态的定义。

这一段解释了上一段定义的限制映射 $\left.\varphi\right|_{H}$ 的两个基本性质：它的定义方式和它的核 (kernel)。

1. 重申定义：第一句话 "这意味着我们使用相同的映射 $\varphi$ 但限制其定义域" 是对前文的总结和强调。核心思想是“规则不变，范围变小”。
2. 形式化定义：接着，用公式化的语言精确描述了这个思想：如果元素 $h$ 属于子群 $H$，那么新的限制映射 $\left.\varphi\right|_{H}$ 作用在 $h$ 上的结果，就等于旧的映射 $\varphi$ 作用在 $h$ 上的结果。即 $\left[\left.\varphi\right|_{H}\right](h)=\varphi(h)$。这里的方括号只是为了视觉上更清晰，避免把 $H$ 误认为是 $\varphi$ 的参数。
3. 同态性质的再次确认：再次指出 $\left.\varphi\right|_{H}$ 是一个同态。理由是 $\varphi$ 本身就是同态，而我们只是在更小的集合上使用它，运算规则没变，所以保持结构的能力自然也保留了下来。
4. 引入核的概念：接下来是本段的重点，讨论限制映射的核。
   • 什么是核？ 对于一个群同态 $\psi: A \rightarrow B$，它的核，记作 $\operatorname{ker} \psi$，是定义域 $A$ 中所有被映射到陪域 $B$ 的单位元 $e_B$ 的元素的集合。即 $\operatorname{ker} \psi = \{a \in A \mid \psi(a) = e_B\}$。核是衡量一个同态“压缩”信息程度的指标。核越大，被“压扁”成单位元的元素越多，信息损失越严重。
5. 限制同态的核：我们想知道 $\operatorname{ker}\left(\left.\varphi\right|_{H}\right)$ 是什么。根据核的定义，它应该是 $\left.\varphi\right|_{H}$ 的定义域 $H$ 中，所有被映射到 $\mathcal{G}$ 的单位元 $1_{\mathcal{G}}$ 的元素的集合。
   • 设一个元素 $h$ 在 $\operatorname{ker}\left(\left.\varphi\right|_{H}\right)$ 中。
   • 这意味着两件事：首先，$h$ 必须在定义域中，即 $h \in H$。
   • 其次，$h$ 必须被映射到单位元，即 $\left.\varphi\right|_{H}(h) = 1_{\mathcal{G}}$。
   • 根据限制映射的定义，$\left.\varphi\right|_{H}(h) = \varphi(h)$。所以条件变为 $\varphi(h) = 1_{\mathcal{G}}$。
   • 一个元素 $x \in G$ 满足 $\varphi(x) = 1_{\mathcal{G}}$，这正是 $x$ 属于原同态 $\varphi$ 的核 $\operatorname{ker} \varphi$ 的定义。
6. 得出结论：所以，一个元素 $h$ 要在 $\operatorname{ker}\left(\left.\varphi\right|_{H}\right)$ 中，必须同时满足两个条件：
   • $h \in H$
   • $h \in \operatorname{ker} \varphi$
   • 一个元素同时属于两个集合，这正是集合交集 (intersection) 的定义。因此，$\operatorname{ker}\left(\left.\varphi\right|_{H}\right) = (\operatorname{ker} \varphi) \cap H$。这个结论非常直观：限制映射的“零点”集合，就是原映射的“零点”集合中，那些恰好也落在限制区域 $H$ 里的元素。

这一小段接着讨论限制同态 $\left.\varphi\right|_{H}$ 的另一个基本属性：它的像 (image)。

1. 像的定义：对于一个映射 $\psi: A \rightarrow B$，它的像，记作 $\operatorname{Im} \psi$ 或 $\psi(A)$，是陪域 $B$ 中所有“被箭头射中”的元素的集合。形式化地，$\operatorname{Im} \psi = \{\psi(a) \mid a \in A\}$。像是实际输出值的集合。
2. 限制同态的像：我们来分析 $\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_{H})$ 是什么。根据像的定义，它应该是 $\left.\varphi\right|_{H}$ 的所有输出值构成的集合。
   • $\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_{H}) = \{ \left.\varphi\right|_{H}(h) \mid h \in H \}$
3. 应用限制的定义：我们知道，对于任何 $h \in H$，$\left.\varphi\right|_{H}(h) = \varphi(h)$。将这个等式代入上面的集合定义中：
   • $\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_{H}) = \{ \varphi(h) \mid h \in H \}$
4. 与子群的像对比：现在我们来看另一个概念：子群 $H$ 在映射 $\varphi$ 下的像。这个概念不是针对限制映射，而是针对原始映射 $\varphi$。它被记作 $\varphi(H)$，定义为 $\varphi(H) = \{ \varphi(h) \mid h \in H \}$。这表示 $H$ 中所有元素在原映射 $\varphi$ 下的输出集合。
5. 得出结论：通过比较第3步和第4步的结果，我们发现这两个集合的定义是完全一样的。
   • $\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_{H}) = \{ \varphi(h) \mid h \in H \}$
   • $\varphi(H) = \{ \varphi(h) \mid h \in H \}$
   • 因此，$\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_{H}) = \varphi(H)$。

这个结论非常直观：限制映射的输出集合，自然就是把限制区域内的所有点进行映射后得到的所有输出点的集合。

这段话将拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem) 和第一同构定理的推论应用到我们刚刚讨论的限制同态上，得出一个关于群的阶 (order)，即元素个数的重要结论。

1. 回顾推论 (2.8.13)：虽然原文没有写出这个推论的具体内容，但它基本上是第一同构定理的直接结果。对于一个同态 $\psi: A \rightarrow B$，我们有：
   • $\operatorname{Im}(\psi) = \psi(A)$ 是 $B$ 的一个子群。根据拉格朗日定理，子群的阶必须整除整个群的阶。所以 $|\psi(A)|$ 必须整除 $|B|$。
   • 根据第一同构定理，$A / \ker(\psi) \cong \psi(A)$。这意味着这两个群的阶相等，即 $|A / \ker(\psi)| = |\psi(A)|$。
   • 商群的阶等于 $|A| / |\ker(\psi)|$。
   • 所以我们有 $|\psi(A)| = |A| / |\ker(\psi)|$，或者说 $|A| = |\psi(A)| \cdot |\ker(\psi)|$。这说明像的阶 $|\psi(A)|$ 也必须整除定义域群 $A$ 的阶 $|A|$。
   • 综上，对于任意群同态 $\psi: A \rightarrow B$，像的阶 $|\psi(A)|$ 必须同时整除 $|A|$ 和 $|B|$。
2. 应用到限制同态：现在我们把这个推论应用到限制同态 $\left.\varphi\right|_{H}: H \rightarrow \mathcal{G}$ 上。
   • 在这个情境中，$A$ 对应于 $H$，$B$ 对应于 $\mathcal{G}$。
   • 该同态的像是 $\varphi(H)$（根据上一段的结论）。
   • 所以，根据推论，像的阶 $|\varphi(H)|$ 必须同时整除定义域的阶 $|H|$ 和陪域的阶 $|\mathcal{G}|$。
3. 核心推论：如果 $|H|$ 和 $|\mathcal{G}|$ 的最大公约数 (greatest common divisor) 是 1，也就是说它们互质 (coprime)，那么会发生什么？
   • 我们知道 $|\varphi(H)|$ 是一个正整数，它必须同时整除 $|H|$ 和 $|\mathcal{G}|$。
   • 唯一能同时整除两个互质数的正整数只有 1。
   • 所以，我们必然得出结论：$|\varphi(H)| = 1$。
4. 解释 $|\varphi(H)|=1$：
   • 一个群的阶为 1，意味着这个群里只有一个元素。
   • 在任何群中，单位元是必须存在的。所以这个唯一的元素就是陪域 $\mathcal{G}$ 的单位元 $1_{\mathcal{G}}$。
   • 因此，$\varphi(H) = \{1_{\mathcal{G}}\}$。这表示子群 $H$ 中的每一个元素，经过 $\varphi$ 映射后，都变成了单位元。
5. 与核的关系：
   • 如果对于所有 $h \in H$，都有 $\varphi(h) = 1_{\mathcal{G}}$，这正是“$H$ 中的所有元素都属于 $\varphi$ 的核”的定义。
   • 换句话说，$H$ 是 $\operatorname{ker}\varphi$ 的一个子集，记作 $H \subseteq \operatorname{ker}\varphi$。

这个例子是前一段计数公式理论的一个具体应用。

1. 设定场景：
   • 群 G：$S_n$，即作用在 $n$ 个元素上的对称群 (symmetric group)，包含了所有 $n!$ 个可能的置换。
   • 群 $\mathcal{G}$：$\{ \pm 1\}$，这是一个只有两个元素的乘法群，运算为 $1 \cdot 1 = 1, 1 \cdot (-1) = -1, (-1) \cdot (-1) = 1$。它的阶 $|\mathcal{G}| = 2$。
   • 同态 $\varphi$：$\sigma$，即符号同态 (sign homomorphism)。它将一个置换映射到它的符号或奇偶性。偶置换（可以写成偶数个对换的乘积）映射到 1，奇置换（可以写成奇数个对换的乘积）映射到 -1。
2. 验证同态的像：
   • 只要 $n \ge 2$，$S_n$ 中就既有偶置换（如单位元 $e$）又有奇置换（如对换 $(12)$）。
   • $\sigma(e) = 1$, $\sigma((12)) = -1$。
   • 所以 $\sigma$ 的像 $\operatorname{Im}(\sigma)$ 包含了 $\{1, -1\}$ 中的所有元素。
   • 因此 $\operatorname{Im}(\sigma) = \{ \pm 1\}$，其阶为2。
3. 引入子群 H：
   • 现在我们考虑 $S_n$ 的一个任意子群 $H$。
   • 我们给 $H$ 加一个条件：它的阶 $|H|$ 是一个奇数。
4. 应用计数公式：
   • 我们考察限制同态 $\left.\sigma\right|_H : H \rightarrow \{ \pm 1\}$。
   • 它的像 $\sigma(H)$ 的阶 $|\sigma(H)|$ 必须同时整除 $|H|$（一个奇数）和 $|\{ \pm 1\}| = 2$。
   • 一个数要同时整除一个奇数和 2，它必须是它们公因子。奇数和2的最大公约数总是1。
   • 所以，唯一的可能是 $|\sigma(H)|=1$。
5. 得出结论：
   • $|\sigma(H)|=1$ 意味着 $\sigma(H) = \{1\}$ (因为 $\{ \pm 1\}$ 的单位元是 1)。
   • 这表示，对于 $H$ 中的任何一个置换 $h$，都有 $\sigma(h) = 1$。
   • 根据定义，一个置换的符号是1，意味着它是一个偶置换 (even permutation)。
   • 所有偶置换的集合正是符号同态 $\sigma$ 的核，这个核被称为交错群 (alternating group)，记作 $A_n$。
   • 所以，如果一个子群 $H$ 的阶是奇数，那么 $H$ 中所有的元素都是偶置换，即 $H$ 是 $A_n$ 的一个子集。由于 $H$ 和 $A_n$ 都是子群，我们可以说 $H$ 是 $A_n$ 的一个子群，即 $H \subseteq A_n$。
6. 进一步举例：
   • 这段话还给出了一个如何构造奇数阶子群的例子：由一个奇数阶元素 $q$ 生成的循环子群 $H = \langle q \rangle$。
   • 元素的阶是指使得 $q^k=e$ 的最小正整数 $k$。如果这个 $k$ 是奇数，那么由它生成的循环子群 $H = \{e, q, q^2, \dots, q^{k-1}\}$ 的阶就是 $k$，也是奇数。
   • 根据上面的结论，这样的子群 $H$ 必然包含在 $A_n$ 中。这意味着元素 $q$ 本身也必须是一个偶置换。
7. 总结推论：$S_n$ 中任何一个阶为奇数的元素，它本身必然是一个偶置换。
   • 例如，一个长度为 $k$ 的循环 (cycle)，如 $(c_1 c_2 \dots c_k)$，它的阶就是 $k$。如果 $k$ 是奇数，那么这个循环就是一个偶置换。（因为一个 $k$-循环可以写成 $k-1$ 个对换的乘积，如果 $k$ 是奇数，$k-1$ 就是偶数）。例如，3-循环 $(123) = (13)(12)$ 是偶置换。5-循环 $(12345)=(15)(14)(13)(12)$ 是偶置换。
8. 对比偶数阶元素：最后，文章指出，这个结论对偶数阶元素不成立。一个阶为偶数的置换，它可能是奇置换，也可能是偶置换。
   • 例如，在 $S_4$ 中，置换 $(12)$ 的阶是2（偶数），它是一个奇置换。
   • 置换 $(12)(34)$ 的阶是2（偶数），但它是一个偶置换。

这个命题是对应定理的基石，它描述了同态下“逆向”操作的性质，即从陪域中的一个子群 $\mathcal{H}$ 出发，看它在定义域中对应的集合 $H$ 具有哪些优良的属性。

1. 基本设定：
   • $\varphi: G \rightarrow \mathcal{G}$ 是一个群同态。
   • $K = \operatorname{ker}(\varphi)$ 是这个同态的核。
   • $\mathcal{H}$ 是陪域 $\mathcal{G}$ 的一个子群。
2. 核心概念：逆像 (preimage)：
   • 我们定义一个集合 $H = \varphi^{-1}(\mathcal{H})$。这个符号 $\varphi^{-1}$ 在这里不是一个函数，因为它可能把 $\mathcal{G}$ 中的一个元素映射到 $G$ 中的多个元素。它代表一个集合操作。
   • $H = \varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 的定义是：$G$ 中所有元素的集合，这些元素经过 $\varphi$ 映射后，其结果落在 $\mathcal{H}$ 中。
   • 形式化地：$H = \{g \in G \mid \varphi(g) \in \mathcal{H}\}$。
3. 命题的三个主要论断：

• 论断 1：逆像是子群且包含核。
• $H$ 是 $G$ 的一个子群：这意味着 $H$ 对 $G$ 的运算是封闭的，包含单位元，并且每个元素的逆元也都在 $H$ 中。这个需要证明（在后续的“证明”部分展开）。直观上，如果两个元素 $g_1, g_2$ 的像都在 $\mathcal{H}$ 中，那么它们的积 $g_1g_2$ 的像 $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$ 也在 $\mathcal{H}$ 中（因为 $\mathcal{H}$ 是子群，对运算封闭），所以 $g_1g_2$ 也在逆像 $H$ 中。
• $H$ 包含 $K$ ($K \subseteq H$): 让我们检查一下。任取一个元素 $k \in K$。根据核的定义，$\varphi(k) = 1_{\mathcal{G}}$（$\mathcal{G}$ 的单位元）。因为 $\mathcal{H}$ 是一个子群，它必须包含单位元，所以 $1_{\mathcal{G}} \in \mathcal{H}$。既然 $\varphi(k)$ 在 $\mathcal{H}$ 中，那么根据 $H$ 的定义，$k$ 就必须在 $H$ 中。所以核 $K$ 中的所有元素都在 $H$ 中。

• 论断 2：正规性得以保持（逆向）。
• 如果目标子群 $\mathcal{H}$ 是正规的 (normal)，那么它在 $G$ 中的逆像 $H$ 也是正规的。
• 正规子群的定义：一个子群 $H \trianglelefteq G$ 是正规的，如果对于任何 $h \in H$ 和任何 $g \in G$，共轭元 (conjugate) $ghg^{-1}$ 仍然在 $H$ 中。
• 这个论断说明，正规性这个重要的属性可以通过同态的逆像从陪域“遗传”到定义域。

• 论断 3：正规性得以保持（正向，有条件）。
• 这是一个从 $G$ 到 $\mathcal{G}$ 的方向。它需要两个额外条件：
• 同态 $\varphi$ 必须是满射 (surjective)，即 $\operatorname{Im}(\varphi) = \mathcal{G}$。这意味着 $\mathcal{G}$ 中的每个元素都至少有一个原像。
• 逆像 $H$ 必须是 $G$ 的正规子群。
• 如果这两个条件满足，那么目标子群 $\mathcal{H}$（即 $H$ 在 $\varphi$ 下的像 $\varphi(H)$）也必然是 $\mathcal{G}$ 中的正规子群。
• 注意：这里原文的表述 "$H$ 是 $G$ 的一个正规子群" 可能会引起歧义。在对应定理的语境下，$H = \varphi^{-1}(\mathcal{H})$，所以 $\varphi(H) = \varphi(\varphi^{-1}(\mathcal{H}))$。因为 $\varphi$ 是满射，所以 $\varphi(\varphi^{-1}(\mathcal{H})) = \mathcal{H}$。所以这个论断可以更清晰地表述为：如果 $\varphi$ 是满射，且 $G$ 中有一个包含核 $K$ 的正规子群 $H$，那么它的像 $\varphi(H)$ 也是 $\mathcal{G}$ 的一个正规子群。

这部分是命题 2.10.4 中第一个论断“$H=\varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 是 $G$ 的一个子群且包含 $K$”的详细证明过程。

1. 开场白与提醒：
   • 作者首先说证明“很简单”，这是数学文献中的常见说法，意指证明过程直截了当，不涉及复杂的技巧。
   • 紧接着是一个关键提醒：“$\varphi^{-1}$ 不是一个映射”。这再次强调 $\varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 是一个集合操作，其定义是 $\{x \in G \mid \varphi(x) \in \mathcal{H}\}$。
2. 证明 $K \subseteq H$：
   • 目标：证明核 $K$ 是逆像 $H$ 的子集。
   • 步骤:
   • 任取一个元素 $x$ 属于核 $K$，即 $x \in K$。
   • 根据核的定义，这意味着 $\varphi(x) = 1_{\mathcal{G}}$（陪域 $\mathcal{G}$ 的单位元）。
   • 我们知道 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 的一个子群。任何子群都必须包含单位元。所以 $1_{\mathcal{G}} \in \mathcal{H}$。
   • 现在我们有了 $\varphi(x) \in \mathcal{H}$。
   • 根据逆像 $H$ 的定义 ($H = \{g \in G \mid \varphi(g) \in \mathcal{H}\}$)，只要一个元素的像在 $\mathcal{H}$ 中，这个元素就在 $H$ 中。
   • 因此，$x \in H$。
   • 结论：因为任意选取的 $x \in K$ 都满足 $x \in H$，所以 $K \subseteq H$。
3. 证明 $H$ 是一个子群：
   • 要证明一个非空子集是子群，需要验证三个条件：封闭性、包含单位元、包含逆元。（有时会用一个合并的子群判别法，但这里是分步验证）。

• a. 验证封闭性 (Closure)：
• 目标：证明如果 $x, y \in H$，那么它们的积 $xy$ 也一定在 $H$ 中。
• 假设：$x \in H$ 且 $y \in H$。
• 展开定义：
• $x \in H$ 意味着 $\varphi(x) \in \mathcal{H}$。
• $y \in H$ 意味着 $\varphi(y) \in \mathcal{H}$。
• 利用已知性质：
• 我们知道 $\mathcal{H}$ 是一个子群，所以它对运算是封闭的。既然 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(y)$ 这两个元素都在 $\mathcal{H}$ 中，它们的积 $\varphi(x)\varphi(y)$ 也一定在 $\mathcal{H}$ 中。
• 我们还知道 $\varphi$ 是一个同态。根据同态的定义，$\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$。
• 连接逻辑链：
• 我们有 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$。
• 我们又有 $\varphi(x)\varphi(y) \in \mathcal{H}$。
• 所以，$\varphi(xy) \in \mathcal{H}$。
• 得出结论：根据逆像 $H$ 的定义，$\varphi(xy) \in \mathcal{H}$ 正是 $xy \in H$ 的条件。因此，封闭性成立。

• b. 验证单位元 (Identity)：
• 目标：证明 $G$ 的单位元 $1_G$ 在 $H$ 中。
• 步骤：
• 我们需要检查 $\varphi(1_G)$ 是否在 $\mathcal{H}$ 中。
• 任何群同态都把单位元映射到单位元，所以 $\varphi(1_G) = 1_{\mathcal{G}}$。
• 因为 $\mathcal{H}$ 是子群，它必须包含单位元，所以 $1_{\mathcal{G}} \in \mathcal{H}$。
• 因此，$\varphi(1_G) \in \mathcal{H}$。
• 得出结论：根据 $H$ 的定义，$1_G \in H$。

• c. 验证逆元 (Inverses)：
• 目标：证明如果 $x \in H$，那么它的逆元 $x^{-1}$ 也一定在 $H$ 中。
• 假设：$x \in H$。
• 展开定义：$x \in H$ 意味着 $\varphi(x) \in \mathcal{H}$。
• 利用已知性质：
• 因为 $\mathcal{H}$ 是一个子群，所以它对求逆元是封闭的。如果一个元素 $\varphi(x)$ 在 $\mathcal{H}$ 中，它的逆元 $(\varphi(x))^{-1}$ 也一定在 $\mathcal{H}$ 中。
• 我们还知道 $\varphi$ 是一个同态。同态的一个性质是它保持逆元运算，即 $\varphi(x^{-1}) = (\varphi(x))^{-1}$。
• 连接逻辑链：
• 我们有 $\varphi(x^{-1}) = (\varphi(x))^{-1}$。
• 我们又有 $(\varphi(x))^{-1} \in \mathcal{H}$。
• 所以，$\varphi(x^{-1}) \in \mathcal{H}$。
• 得出结论：根据逆像 $H$ 的定义，$\varphi(x^{-1}) \in \mathcal{H}$ 正是 $x^{-1} \in H$ 的条件。因此，逆元条件成立。

1. 最终结论：由于 $H$ 满足子群的所有三个条件，所以 $H$ 是 $G$ 的一个子群。结合第一步的证明，我们完整证明了命题的第一个论断。

这部分接着证明命题 2.10.4 的第二和第三个论断，即关于正规性在同态映射下如何传递。

第一部分：证明论断 2 (如果 $\mathcal{H} \trianglelefteq \mathcal{G}$，则 $H \trianglelefteq G$)

1. 目标：证明如果 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 的正规子群，那么它的逆像 $H = \varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 也是 $G$ 的正规子群。
2. 回顾正规子群定义：要证明 $H$ 在 $G$ 中是正规的，我们需要证明对于任意一个 $x \in H$ 和任意一个 $g \in G$，它们的共轭 $gxg^{-1}$ 必须仍然在 $H$ 中。
3. 证明步骤：
   • 假设：我们已知 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 的正规子群。
   • 选取元素：令 $x$ 是 $H$ 中的任意一个元素 ($x \in H$)，令 $g$ 是 $G$ 中的任意一个元素 ($g \in G$)。
   • 最终目的：我们需要证明 $gxg^{-1} \in H$。根据 $H$ 的定义，这等价于证明 $\varphi(gxg^{-1}) \in \mathcal{H}$。
   • 利用同态性质：由于 $\varphi$ 是同态，它可以将共轭运算拆开：$\varphi(gxg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(x)\varphi(g^{-1})$。又因为同态保持逆元，$\varphi(g^{-1}) = (\varphi(g))^{-1}$。所以，$\varphi(gxg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(x)(\varphi(g))^{-1}$。
   • 分析 $\varphi(g)\varphi(x)(\varphi(g))^{-1}$：这个表达式正是 $\mathcal{G}$ 中元素 $\varphi(x)$ 的一个共轭，共轭它的元素是 $\varphi(g)$。
   • 利用已知条件：
   • 因为 $x \in H$，所以根据 $H$ 的定义，$\varphi(x) \in \mathcal{H}$。
   • 我们假设了 $\mathcal{H}$ 在 $\mathcal{G}$ 中是正规的。根据正规子群的定义，如果一个元素 ($\varphi(x)$) 在 $\mathcal{H}$ 中，那么它被 $\mathcal{G}$ 中任何元素 ($\varphi(g)$) 共轭后的结果，仍然必须在 $\mathcal{H}$ 中。
   • 因此，$\varphi(g)\varphi(x)(\varphi(g))^{-1} \in \mathcal{H}$。
   • 连接逻辑链：我们已经证明了 $\varphi(gxg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(x)(\varphi(g))^{-1}$，并且 $\varphi(g)\varphi(x)(\varphi(g))^{-1} \in \mathcal{H}$。所以，$\varphi(gxg^{-1}) \in \mathcal{H}$。
   • 得出结论：根据 $H$ 的定义，$\varphi(gxg^{-1}) \in \mathcal{H}$ 意味着 $gxg^{-1} \in H$。证毕。

第二部分：证明论断 3 (如果 $\varphi$ 满射且 $H \trianglelefteq G$，则 $\mathcal{H} = \varphi(H)$ 也 $\trianglelefteq \mathcal{G}$)

1. 目标：在 $\varphi$ 是满射且 $H$ 是 $G$ 的正规子群的条件下，证明 $H$ 的像 $\mathcal{H} = \varphi(H)$ 是 $\mathcal{G}$ 的正规子群。
2. 回顾正规子群定义：要证明 $\mathcal{H}$ 在 $\mathcal{G}$ 中是正规的，我们需要证明对于任意一个 $a \in \mathcal{H}$ 和任意一个 $b \in \mathcal{G}$，它们的共轭 $bab^{-1}$ 必须仍然在 $\mathcal{H}$ 中。
3. 证明步骤：
   • 假设：$\varphi$ 是满射，且 $H \trianglelefteq G$。
   • 选取元素：令 $a$ 是 $\mathcal{H}$ 中的任意一个元素 ($a \in \mathcal{H}$)，令 $b$ 是 $\mathcal{G}$ 中的任意一个元素 ($b \in \mathcal{G}$)。
   • 最终目的：我们需要证明 $bab^{-1} \in \mathcal{H}$。
   • 利用满射和像的定义：
   • 因为 $a \in \mathcal{H} = \varphi(H)$，根据像的定义，必然存在一个原像 $x \in H$ 使得 $\varphi(x) = a$。
   • 因为 $\varphi$ 是满射，对于 $\mathcal{G}$ 中的任意元素 $b$，也必然存在一个原像 $y \in G$ 使得 $\varphi(y) = b$。
   • 利用已知条件：
   • 我们假设了 $H$ 在 $G$ 中是正规的。
   • 我们有 $x \in H$ 和 $y \in G$。根据正规子群的定义，$yxy^{-1}$ 这个共轭必须仍然在 $H$ 中。即 $yxy^{-1} \in H$。
   • 连接逻辑链：
   • 既然 $yxy^{-1} \in H$，那么它的像 $\varphi(yxy^{-1})$ 就必须在 $H$ 的像 $\varphi(H) = \mathcal{H}$ 中。
   • 我们来计算这个像：利用同态性质，$\varphi(yxy^{-1}) = \varphi(y)\varphi(x)\varphi(y^{-1}) = \varphi(y)\varphi(x)(\varphi(y))^{-1}$。
   • 我们将 $\varphi(x)=a$ 和 $\varphi(y)=b$ 代入，得到 $\varphi(yxy^{-1}) = bab^{-1}$。
   • 得出结论：我们证明了 $bab^{-1} = \varphi(yxy^{-1})$，并且 $\varphi(yxy^{-1}) \in \mathcal{H}$。所以 $bab^{-1} \in \mathcal{H}$。证毕。

这是本节的核心定理——对应定理 (Correspondence Theorem)，有时也称为第四同构定理或格定理 (Lattice Theorem)。它揭示了一个深刻而优美的结构性关系。

1. 定理的条件（前提）：
   • 我们有一个群同态 $\varphi: G \rightarrow \mathcal{G}$。
   • 这个同态必须是满射 (surjective)。这意味着 $\mathcal{G}$ 中的每个元素都能在 $G$ 中找到至少一个原像。整个 $\mathcal{G}$ 都是由 $G$ "生成"的。
   • $K = \operatorname{ker}(\varphi)$ 是这个同态的核。
2. 定理的核心论断：
   • 定理声称，在两个集合之间存在一个双射对应 (bijective correspondence)，也就是一个完美的一一对应关系。
   • 集合1：是 $G$ 的所有子群中，那些包含核 $K$ 的子群的集合。我们记这个集合为 $\mathcal{S}_G = \{ H \mid K \subseteq H \le G \}$。（$H \le G$ 表示 $H$ 是 $G$ 的子群）。
   • 集合2：是 $\mathcal{G}$ 的所有子群的集合。我们记这个集合为 $\mathcal{S}_{\mathcal{G}} = \{ \mathcal{H} \mid \mathcal{H} \le \mathcal{G} \}$。
   • 一一对应意味着：
   • 单射 (Injective)：从集合1到集合2的映射是“一对一”的。$G$ 中两个不同的、都包含 $K$ 的子群，它们在 $\mathcal{G}$ 中的像也必然是两个不同的子群。
   • 满射 (Surjective)：从集合1到集合2的映射是“无遗漏”的。$\mathcal{G}$ 中的任何一个子群，都可以在 $G$ 中找到一个包含 $K$ 的子群与之对应。
3. 如何建立这个对应关系：
   • 定理明确指出了建立这个双射的两个方向的“规则”或“映射”。
   • 正向映射 ($\rightarrow$)：从集合1到集合2。
   • 对于 $G$ 中任何一个包含核 $K$ 的子群 $H$，我们将它映射到它在 $\mathcal{G}$ 中的像 $\varphi(H)$。
   • 即：$H \mapsto \varphi(H)$。根据命题2.10.4的铺垫，我们知道 $\varphi(H)$ 确实是 $\mathcal{G}$ 的一个子群。
   • 逆向映射 ($\leftarrow$)：从集合2到集合1。
   • 对于 $\mathcal{G}$ 中的任何一个子群 $\mathcal{H}$，我们将它映射到它在 $G$ 中的逆像 $\varphi^{-1}(\mathcal{H})$。
   • 即：$\mathcal{H} \mapsto \varphi^{-1}(\mathcal{H})$。根据命题2.10.4的铺垫，我们知道 $\varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 确实是 $G$ 的一个子群，并且它包含核 $K$。
4. 定理的意义：
   • 这个定理告诉我们，如果我们想了解一个群 $\mathcal{G}$ 的所有子群结构，而 $\mathcal{G}$ 是另一个群 $G$ 的一个同态像（由 $\varphi: G \to \mathcal{G}$ 满射得到），我们完全可以通过研究 $G$ 的结构来做到这一点。
   • 具体来说，$\mathcal{G}$ 的子群结构图（称为子群格 (subgroup lattice)）与 $G$ 中那些“在核 $K$ 之上”的子群的结构图是完全同构的。
   • 核 $K$ 就像一个“视而不见”的底层结构，所有包含 $K$ 的子群在通过 $\varphi$ “压缩”掉 $K$ 的信息后，就完美地变成了 $\mathcal{G}$ 的子群。

这部分是对应定理的补充说明，指出了这个美妙的对应关系还保持了另外两个重要的性质：正规性和阶的关系。

第一部分：正规性的保持

• 原文："如果 $H$ 和 $\mathcal{H}$ 是对应的子群，则 $H$ 是 $G$ 中的正规子群当且仅当 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 中的正规子群。"
• 逐字解释:
• "$H$ 和 $\mathcal{H}$ 是对应的子群" 意味着它们通过对应定理中的映射联系在一起，即 $\mathcal{H} = \varphi(H)$ 且 $H = \varphi^{-1}(\mathcal{H})$。
• "当且仅当 (if and only if)" 是一个逻辑上的强双向蕴含关系，需要证明两个方向：

1. ($\Rightarrow$) 如果 $H$ 是 $G$ 中的正规子群，那么 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 中的正规子群。
2. ($\Leftarrow$) 如果 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 中的正规子群，那么 $H$ 是 $G$ 中的正规子群。
   • 与命题 2.10.4 的关系: 这部分内容其实就是命题 2.10.4 中关于正规性的论断2和论断3的直接应用。
   • 方向 ($\Rightarrow$): 命题 2.10.4 论断3说，如果 $\varphi$ 是满射（对应定理的前提条件）且 $H \trianglelefteq G$，那么 $\varphi(H) \trianglelefteq \mathcal{G}$。这正是我们需要的。
   • 方向 ($\Leftarrow$): 命题 2.10.4 论断2说，如果 $\mathcal{H} \trianglelefteq \mathcal{G}$，那么 $\varphi^{-1}(\mathcal{H}) \trianglelefteq G$。这正是我们需要的。
   • 结论: 这个对应关系不仅仅是子群之间的一一对应，它还是正规子群和正规子群之间的一一对应。它完美地保持了正规性这个属性。

第二部分：阶的关系（计数公式）

• 原文："如果 $H$ 和 $\mathcal{H}$ 是对应的子群，则 $|H|=|\mathcal{H}||K|$。"
• 逐字解释:
• $|H|$: 对应子群 $H$ 的阶（元素个数）。
• $|\mathcal{H}|$: 对应子群 $\mathcal{H}$ 的阶。
• $|K|$: 核 $K$ 的阶。
• 如何理解这个公式:
• 我们考虑将同态 $\varphi$ 限制在子群 $H$ 上，得到限制同态 $\left.\varphi\right|_H: H \to \mathcal{G}$。
• 根据第一同构定理，我们有 $H / \ker(\left.\varphi\right|_H) \cong \operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_H)$。
• 两边取阶，得到 $|H / \ker(\left.\varphi\right|_H)| = |\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_H)|$。
• $|H| / |\ker(\left.\varphi\right|_H)| = |\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_H)|$。
• 所以 $|H| = |\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_H)| \cdot |\ker(\left.\varphi\right|_H)|$。
• 代入已知关系:
• 像: 我们知道 $\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_H) = \varphi(H)$。在对应关系中，$\varphi(H) = \mathcal{H}$。所以 $|\operatorname{Im}(\left.\varphi\right|_H)| = |\mathcal{H}|$。
• 核: 我们知道 $\ker(\left.\varphi\right|_H) = (\ker \varphi) \cap H = K \cap H$。因为 $H$ 是一个包含 $K$ 的子群，所以 $K \subseteq H$，那么它们的交集就是 $K$ 本身，即 $K \cap H = K$。所以 $|\ker(\left.\varphi\right|_H)| = |K|$。
• 得出结论: 将这两部分代入上面的公式，我们得到 $|H| = |\mathcal{H}| \cdot |K|$。
• 直观解释: 这个公式说明，逆像 $H$ 的大小，是其像 $\mathcal{H}$ 大小的 $|K|$ 倍。可以想象，$H$ 中的元素被 $\varphi$ 映射时，每 $|K|$ 个元素被“压缩”成了 $\mathcal{H}$ 中的一个元素。$\mathcal{H}$ 中的每个元素 $y \in \mathcal{H}$，它在 $H$ 中的原像集合 $\varphi^{-1}(\{y\}) \cap H$ 恰好是 $K$ 的一个陪集，大小为 $|K|$。因为 $\mathcal{H}$ 中有 $|\mathcal{H}|$ 个元素，所以 $H$ 的总大小就是 $|\mathcal{H}| \times |K|$。

这一段是对应定理的一个具体应用，目的是利用已知的 $S_3$ 的子群结构，来推断未知的 $S_4$ 的部分子群结构。

1. 回顾场景设定：
   • 同态：$\varphi: S_{4} \rightarrow S_{3}$，这是一个满射同态。$|S_4|=24$, $|S_3|=6$。
   • 核：$K = V_4 = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$。核的阶 $|K|=4$。
   • 定理适用性：这是一个满射同态，完全满足对应定理的前提条件。
2. 分析目标群 $\mathcal{G}=S_3$ 的子群结构：
   • $S_3$ 的阶是 6。其子群的阶必须是 6 的因子：1, 2, 3, 6。
   • 阶为1的子群: 只有平凡子群 $\{e\}$。
   • 阶为2的子群: 由2阶元素（对换）生成。有3个：$\langle (12) \rangle = \{e, (12)\}$, $\langle (13) \rangle = \{e, (13)\}$, $\langle (23) \rangle = \{e, (23)\}$。
   • 阶为3的子群: 由3阶元素（3-循环）生成。只有1个：$\langle (123) \rangle = \{e, (123), (132)\}$，这就是 $A_3$。
   • 阶为6的子群: 只有 $S_3$ 本身。
   • 总结 $S_3$ 的子群: $S_3$ 共有 $1+3+1+1 = 6$ 个子群。
   • 真子群 (proper subgroup)：指除了自身和平凡子群之外的子群。所以 $S_3$ 有 $6-2=4$ 个真子群：一个阶为3的 ($A_3$)，三个阶为2的。
   • 原文中用 $\langle x \rangle$ 代表3阶循环群，$x=(123)$；用 $\langle y \rangle$ 代表一个2阶子群的例子，$y=(12)$。
3. 应用对应定理进行预测：
   • 对应定理说：$S_3$ 的每个子群，都唯一对应于 $S_4$ 中一个包含核 $K$ 的子群。
   • 因为 $S_3$ 有6个子群，所以 $S_4$ 中有且仅有6个包含核 $K$ 的子群。
   • 因为 $S_3$ 有4个真子群，所以 $S_4$ 中有且仅有4个包含核 $K$ 的真子群。
4. 使用阶数公式 $|H|=|\mathcal{H}||K|$ 进行计算：
   • 我们知道 $|K|=4$。
   • 对应于 $S_3$ 中那个阶为3的子群 $\mathcal{H}=A_3$，它在 $S_4$ 中对应的子群 $H$ 的阶应该是 $|H| = |\mathcal{H}| \cdot |K| = 3 \times 4 = 12$。
   • 对应于 $S_3$ 中那三个阶为2的子群 $\mathcal{H}' = \langle y \rangle$，它们在 $S_4$ 中对应的三个子群 $H'$ 的阶都应该是 $|H'| = |\mathcal{H'}| \cdot |K| = 2 \times 4 = 8$。
5. 得出关于 $S_4$ 子群的结论：
   • 对应定理预测：$S_4$ 中必然存在一个阶为12的、包含 $V_4$ 的子群。
   • 对应定理预测：$S_4$ 中必然存在三个不同的、阶为8的、都包含 $V_4$ 的子群。

这段话是对上一段预测的具体落实和解释，指出了那些预测出的12阶和8阶子群到底是什么。

1. 识别12阶子群：
   • 预测：存在一个包含 $K=V_4$ 的12阶子群。
   • 识别：我们已经知道 $S_4$ 中有一个著名的12阶子群，就是交错群 $A_4$ (Alternating group)，它由所有偶置换组成。
   • 验证：$A_4$ 包含 $K=V_4$ 吗？$V_4 = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$。单位元 $e$ 是偶置换。形如 $(ab)(cd)$ 的两个不相交对换的积也是偶置换。所以 $V_4$ 的所有元素都是偶置换，因此 $V_4 \subseteq A_4$。
   • 确认对应关系：$A_4$ 这个12阶子群，正是在对应定理中与 $S_3$ 的3阶子群 $A_3 = \langle (123) \rangle$ (原文的 $\langle x \rangle$) 相对应的那个子群。
   • 正规性检查：$A_4$ 是 $S_4$ 的正规子群，$A_3$ 也是 $S_3$ 的正规子群，这也符合定理中正规性保持的性质。
2. 识别8阶子群：
   • 预测：存在三个包含 $K=V_4$ 的8阶子群。
   • 解释：作者提出，这些8阶子群可以通过正方形的对称性来具象化。一个正方形有8个对称操作（4个旋转，4个反射），构成一个8阶的二面体群 $D_4$ (Dihedral group)。
   • 建立与 $S_4$ 的联系：我们可以将正方形的4个顶点用数字 1, 2, 3, 4 来标记。这样，正方形的每一个对称操作，就等同于对这4个顶点的一个置换，即 $S_4$ 的一个元素。
   • 具体生成元：
   • 将顶点按逆时针顺序标记为 1, 2, 3, 4。
   • 逆时针旋转90度 ($\pi/2$): 这个操作将顶点1移动到2的位置，2到3，3到4，4到1。这对应于 $S_4$ 中的4-循环置换 $(1234)$。
   • 关于通过顶点1和3的对角线的反射: 这个操作保持顶点1和3不动，将顶点2和4互换。这对应于 $S_4$ 中的对换 $(24)$。
   • 生成的子群：由这两个置换 $(1234)$ 和 $(24)$ 生成的子群 $\langle (1234), (24) \rangle$ 就是 $S_4$ 的一个子群。可以验证，这个子群恰好有8个元素，它同构于 $D_4$。它就是我们预测的三个8阶子群中的一个。
   • 其他两个8阶子群：如何得到另外两个？通过改变顶点的标记方式。$S_4$ 作用的集合是 $\{1,2,3,4\}$，我们可以选择不同的方式将其与正方形的顶点对应。总共有3种不同的方法可以将4个元素两两配对（例如，对角线可以是(1,3)和(2,4)，也可以是(1,2)和(3,4)，或者是(1,4)和(2,3)），这三种配对方式分别对应于三个不同的8阶子群（它们彼此是共轭的，但作为集合是不同的）。
3. 定理的局限性：
   • 最后，作者强调，对应定理是一个强大的工具，但它有明确的作用范围。
   • 它只描述了那些包含核 $K$ 的子群。
   • $S_4$ 中还有很多其他的子群，比如2阶的 $\langle (12) \rangle$，3阶的 $\langle (123) \rangle$，4阶的循环群 $\langle (1234) \rangle$，6阶的 $S_3$（作用于$\{1,2,3\}$），等等。
   • 所有这些子群，因为它们不包含 $K=V_4$，所以对应定理对它们“无话可说”，它们不在那个一一对应的列表里。

这段话是对应定理证明的“路线图”或“待办事项列表”。它将整个复杂的证明任务分解成了几个独立的、更小的、可管理的子任务。

1. 设定证明环境:
   • $H$ 代表了对应关系中“定义域”一侧的典型元素，即 $H$ 是 $G$ 的一个子群且 $K \subseteq H$。
   • $\mathcal{H}$ 代表了对应关系中“陪域”一侧的典型元素，即 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 的一个子群。
2. 证明任务分解: 作者清晰地列出了要完成整个证明，需要完成的五个核心检查点。

• 检查点 1: $\varphi(H)$ 是 $\mathcal{G}$ 的一个子群。
• 含义: 这个检查点要确保我们的正向映射 $H \mapsto \varphi(H)$ 是“良定义的”，即它的输出确实落在了我们声称的目标集合（$\mathcal{G}$ 的子群集合）中。
• 证明思路: 这通常通过验证子群三条件（封闭性、单位元、逆元）来实现，利用 $\varphi$ 是同态和 $H$ 是子群的性质。这其实是同态的基本性质，像总是子群。

• 检查点 2: $\varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 是 $G$ 的一个子群，且它包含 $K$。
• 含义: 这个检查点要确保我们的逆向映射 $\mathcal{H} \mapsto \varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 也是“良定义的”，即它的输出确实落在了我们声称的目标集合（包含 $K$ 的 $G$ 的子群集合）中。
• 证明思路: 这正是命题 2.10.4 的第一个论断，并且在前面已经详细证明过了。

• 检查点 3: $\mathcal{H} \trianglelefteq \mathcal{G} \iff \varphi^{-1}(\mathcal{H}) \trianglelefteq G$。
• 含义: 这是对定理补充性质“保持正规性”的证明要求。需要证明两个方向的蕴含关系。
• 证明思路: 这也完全是命题 2.10.4 的论断2和论断3（在满射条件下）的内容，前面也已经证明过了。

• 检查点 4: 对应关系的双射性。
• 含义: 这是证明一一对应的核心。要证明两个映射 $f(H) = \varphi(H)$ 和 $g(\mathcal{H}) = \varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 互为逆映射。即证明 $f(g(\mathcal{H})) = \mathcal{H}$ 和 $g(f(H)) = H$。
• 展开: 这就是要证明 $\varphi(\varphi^{-1}(\mathcal{H})) = \mathcal{H}$ 和 $\varphi^{-1}(\varphi(H)) = H$ 这两个集合等式。
• 证明思路: 这是后续证明的主要新内容。

• 检查点 5: $| \varphi^{-1}(\mathcal{H})| = |\mathcal{H}| |K|$。
• 含义: 这是对定理补充性质“阶数公式”的证明要求。
• 证明思路: 这在前面已经通过应用第一同构定理于限制同态 $\left.\varphi\right|_H$ 推导过了。证明过程需要用到 $H=\varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 和 $K \subseteq H$ 的事实。

这是对上一节列出的证明要点的具体执行过程。

1. 处理检查点1, 2, 3:
   • 检查点1 ($\varphi(H)$ 是子群): 作者给出了一个简洁的理由。$\varphi(H)$ 就是限制同态 $\left.\varphi\right|_{H}: H \to \mathcal{G}$ 的像 (Image)。而任何同态的像都必然是陪域的一个子群。这是一个同态的基本性质。所以检查点1成立。
   • 检查点2和3 (逆像的子群和正规性): 作者直接指出，这两点的内容就是命题 2.10.4 的内容，该命题已经陈述并证明过了。因此，这里直接引用，无需重复证明。
2. 处理检查点4 (双射性): 这是本段证明的核心。需要证明两个集合等式：
   • a) $\varphi(\varphi^{-1}(\mathcal{H})) = \mathcal{H}$
   • b) $\varphi^{-1}(\varphi(H)) = H$

• 证明 a) $\varphi(\varphi^{-1}(\mathcal{H})) = \mathcal{H}$:
• 作者提到，这个等式对于任何满射映射 $\varphi: S \to S'$ 和目标集 $S'$ 的任何子集 $\mathcal{H}$ 都成立。这是一个集合论中的普遍事实。
• 为什么呢？(作者省略的证明)
• 证明"$\subseteq$": 任取 $y \in \varphi(\varphi^{-1}(\mathcal{H}))$。根据像的定义，存在一个 $x \in \varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 使得 $\varphi(x)=y$。根据逆像的定义，$x \in \varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 意味着 $\varphi(x) \in \mathcal{H}$。所以 $y \in \mathcal{H}$。
• 证明"$\supseteq$": 任取 $y \in \mathcal{H}$。因为 $\varphi$ 是满射，所以对于这个 $y$，必然存在一个 $x \in G$ 使得 $\varphi(x)=y$。既然 $\varphi(x) \in \mathcal{H}$，那么根据逆像的定义，$x \in \varphi^{-1}(\mathcal{H})$。现在我们找到了一个在 $\varphi^{-1}(\mathcal{H})$ 中的元素 $x$，它的像是 $y$。根据像的定义，这个 $y$ 就在 $\varphi(\varphi^{-1}(\mathcal{H}))$ 中。
• 因为定理的前提条件是 $\varphi$ 为满射，所以这个等式成立。

• 证明 b) $\varphi^{-1}(\varphi(H)) = H$:
• 这个证明需要分两步，证明两个集合相互包含。
• 第一步: 证明 $H \subseteq \varphi^{-1}(\varphi(H))$:
• 作者说这个方向对于任何映射都成立。
• 为什么呢？(作者省略的证明): 任取一个元素 $h \in H$。它的像 $\varphi(h)$ 显然在 $H$ 的像集 $\varphi(H)$ 中。根据逆像的定义，如果一个元素 $h$ 的像 $\varphi(h)$ 在集合 $\varphi(H)$ 中，那么这个元素 $h$ 本身就在 $\varphi(H)$ 的逆像集 $\varphi^{-1}(\varphi(H))$ 中。所以 $h \in \varphi^{-1}(\varphi(H))$。
• 第二步: 证明 $\varphi^{-1}(\varphi(H)) \subseteq H$:
• 作者指出，这是唯一需要详细验证的新内容。
• 证明过程:
• 任取一个元素 $x$ 属于 $\varphi^{-1}(\varphi(H))$。
• 目标: 证明 $x \in H$。
• 展开定义: $x \in \varphi^{-1}(\varphi(H))$ 意味着 $\varphi(x) \in \varphi(H)$。
• $\varphi(x) \in \varphi(H)$ 意味着，在 $H$ 中存在某个元素，我们称之为 $a$，它的像和 $\varphi(x)$ 一样。即存在 $a \in H$ 使得 $\varphi(x) = \varphi(a)$。
• 利用同态性质: 从 $\varphi(x) = \varphi(a)$，我们可以得到 $\varphi(a)^{-1}\varphi(x) = 1_{\mathcal{G}}$。因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(a^{-1}x) = 1_{\mathcal{G}}$。
• 与核建立联系: $\varphi(a^{-1}x) = 1_{\mathcal{G}}$ 正是元素 $a^{-1}x$ 属于核 $K$ 的定义。所以 $a^{-1}x \in K$。
• 利用定理的特殊条件: 这里的 $H$ 不是任意子群，而是对应定理中那个包含核 $K$ 的子群。所以我们有 $K \subseteq H$ 这个重要条件。
• 既然 $a^{-1}x \in K$ 并且 $K \subseteq H$，那么 $a^{-1}x \in H$。
• 最后一步: 我们已知 $a \in H$ (之前选取的)，现在又证明了 $a^{-1}x \in H$。因为 $H$ 是一个子群，它对乘法封闭。所以，将这两个元素相乘：$a \cdot (a^{-1}x) = (aa^{-1})x = ex = x$。这个乘积 $x$ 也必须在 $H$ 中。
• 结论: 我们成功证明了 $x \in H$。
• 综合两步: 因为 $H \subseteq \varphi^{-1}(\varphi(H))$ 且 $\varphi^{-1}(\varphi(H)) \subseteq H$，所以两个集合相等。

1. 处理检查点5 (阶数公式):
   • 作者在这里说“我们将最后一点的证明留作练习”。
   • 这个证明在之前的 3.2 节[逐步解释]中已经详细推导过了，它依赖于对限制同态 $\left.\varphi\right|_H$ 使用第一同构定理。这里不再赘述。